在完備的實數系中，循環小數0.999…，也可寫成、或，表示一個等於1的實數。也就是說，「0.999…」所表示的數與「1」相同。長期以來，該等式被職業數學家所接受，並在教科書中講授。目前這個等式已經有各種各樣的證明，它們各有不同的嚴密性、背景假設都蘊含實數的阿基米德性（En:Archimedean field）、歷史文脈、以及目標受眾。
這類展開式的非唯一性不僅限於十進位系統。相同的現象也出現在其它的整數進位制中，數學家們也列舉出了一些1在非整數進位制中的寫法。這種現象也不是僅僅限於1的：對於每一個非零的有限小數，都存在另一種含有無窮多個9的寫法。由於簡便的原因，我們幾乎肯定使用有限小數的寫法，這樣就更加使人們誤以為沒有其它寫法了。實際上，一旦我們允許使用無限小數，那麼在所有的進位制中都有無窮多種替代的寫法。例如，18.3287與18.3286999…、18.3287000…，以及許多其它的寫法，都表示相同的數。這些各種各樣的等式被用來更好地理解分數的小數展開式的規律，以及一個簡單分形圖形──康托爾集合的結構。它們也出現在一個對整個實數的無窮集合的經典研究之中。
在過去數十年裡，數學教育的研究人員研究了學生們對該等式的接受程度。許多學生至少在一開始對該等式表示懷疑或無法接受。閱讀了教科書和以下的推理，並經過了教師教導後，大部分學生便被迫承認兩者是相等的。不過，他們往往仍然感到十分彆扭，而提供進一步的理由。學生們否定或肯定該等式的原因，通常是基於一些對實數的常見誤解；例如，每一個實數都有一個唯一的小數展開式，例如非零的無窮小應該存在，或者0.999…的展開式最終要停止。我們也可以構造出使該等式不成立的記數系統，但只能在初等數學中的標準實數系統之外進行。確實是這樣，有些記數系統含有「剛剛小於1」的數；這些數一般與0.999…無關（因為與之相關的在理論上和實踐上都沒有什麼用途），但在數學分析中引起了相當大的興趣。
這類展開式的非唯一性不僅限於十進位系統。相同的現象也出現在其它的整數進位制中，數學家們也列舉出了一些1在非整數進位制中的寫法。這種現象也不是僅僅限於1的：對於每一個非零的有限小數，都存在另一種含有無窮多個9的寫法。由於簡便的原因，我們幾乎肯定使用有限小數的寫法，這樣就更加使人們誤以為沒有其它寫法了。實際上，一旦我們允許使用無限小數，那麼在所有的進位制中都有無窮多種替代的寫法。例如，18.3287與18.3286999…、18.3287000…，以及許多其它的寫法，都表示相同的數。這些各種各樣的等式被用來更好地理解分數的小數展開式的規律，以及一個簡單分形圖形──康托爾集合的結構。它們也出現在一個對整個實數的無窮集合的經典研究之中。
在過去數十年裡，數學教育的研究人員研究了學生們對該等式的接受程度。許多學生至少在一開始對該等式表示懷疑或無法接受。閱讀了教科書和以下的推理，並經過了教師教導後，大部分學生便被迫承認兩者是相等的。不過，他們往往仍然感到十分彆扭，而提供進一步的理由。學生們否定或肯定該等式的原因，通常是基於一些對實數的常見誤解；例如，每一個實數都有一個唯一的小數展開式，例如非零的無窮小應該存在，或者0.999…的展開式最終要停止。我們也可以構造出使該等式不成立的記數系統，但只能在初等數學中的標準實數系統之外進行。確實是這樣，有些記數系統含有「剛剛小於1」的數；這些數一般與0.999…無關（因為與之相關的在理論上和實踐上都沒有什麼用途），但在數學分析中引起了相當大的興趣。
